Question

20．在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有两解，则b的取值范围是（　　）

• A． （2，2$\sqrt{2}$）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 利用正弦定理和b和sinB求得b和sinB的关系，利用A求得B+C；要使三角形两个这两个值互补先看若B≤45°，则和B互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜B＜135°若B=90°，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinB的范围，利用sinB和b的关系求得b的范围．

解答 解：∵a=2，A=45°，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2\sqrt{2}$，解得b=2$\sqrt{2}$sinB，
∵B+C=180°-45°=135°，由B有两个值，则这两个值互补，
若B≤45°，
则和B互补的角大于135°，这样A+B＞180°，不成立，
∴45°＜B＜135°，
又若B=90°，这样补角也是90°，一解，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinB＜1，
b=2$\sqrt{2}$sinB，
所以2＜b＜2$\sqrt{2}$．
则b的取值范围是为：（2，2$\sqrt{2}$）．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，解三角形与不等式的综合，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力，属于中档题．