Question

12．在△ABC中，若$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，则△ABC的形状一定是等腰或直角三角形．

Answer 1

分析 先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sinAcosB-cosAsinB），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，”，得到a²=b²或a²+b²=c²，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：∵2Rsin（A-B）=2R（sinAcosB-cosAsinB）=2RsinAcosB-2RsinBcosA=a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$，
∴sin（A-B）=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{2Rc}$，
∴已知等式变形得：（a²+b²）•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{2Rc}$=（a²-b²）•$\frac{c}{2R}$，
∴a²=b²或a²+b²=c²，
∴a=b，或C=$\frac{π}{2}$，
则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．