Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差数列，且a₂+a₅=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）设b_n=log₂|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，当q≠1时，由S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差数列，且a₂+a₅=4．可得2（S₉+2）=S₆+2+S₃+2，a1(q+q4)=4．利用等比数列的前n项和公式化简解出即可．当q=1时，不满足条件，舍去．
（II）（II）由（I）可得an=a2qn-2=（-1）^n-2•2

11-n

3

．可得b_n=log₂|a_n|=

11-n 3 ，1≤n≤11 n-11 3 ，n≥12

．，对n分类讨论；当n≤11时，当n≥12时，利用等差数列的前n项和公式即可得出，

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
当q≠1时，∵S₃+2，S₉+2，S₆+2成等差数列，且a₂+a₅=4．
∴2（S₉+2）=S₆+2+S₃+2，a1(q+q4)=4．
∴2×

a1(q9-1)

q-1

=

a1(q6-1)

q-1

+

a1(q3-1)

q-1

，
化为（2q³+1）（q³-1）=0．
解得q3=-

1

2

．a₂=8．
当q=1时，不满足条件，舍去．
∴q=-

3	1 2

．
（II）由（I）可得an=a2qn-2=（-1）^n-2•2

11-n

3

．
b_n=log₂|a_n|=

11-n 3 ，1≤n≤11 n-11 3 ，n≥12

．，
当n≤11时，数列{b_n}的前n项和T_n=

11( 10 3 + 11-n 3 )

2

=

-n2+21n

6

．
当n≥12时，数列{b_n}的前n项和T_n=T₁₁+

12-11

3

+

13-11

3

+…+

n-11

3

．
=

21×11-112

6

+

1

3

×[

(n-11)(12+n)

2

-11×(n-11)]
=

n2-21n+220

6

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了分类讨论思想方法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．