Question

(本小题满分16分)已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：设直线与椭圆的交点坐标为.
（1）把代入可得：，    （2分）
则，当且仅当时取等号   （4分）
（2）由得，，（6分）
所以
         （9分）
（3）（理）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，
由消去整理得 
则    ①         又      ②
若存在定点符合题意，且
         （11分）
把①、②式代入上式整理得
(其中都是常数)
要使得上式对变量恒成立，当且仅当
，解得                          （13分）
当时，定点就是椭圆的右顶点，此时，；   
当时，定点就是椭圆的左顶点，此时，； （15分）
当直线与轴垂直时，由，解得两交点坐标为
，可验证：或
所以，存在一点（或），使直线和的斜率的乘积为
非零常数（或）.                     （16分）

略