Question

2．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠CAB的角平分线AE交BC和圆O于点D、E，且PA=2PB=10．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的比值；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）通过说明△ABP～△CAP，然后求解$\frac{AC}{AB}$的比值．
（2）由切割线定理求出PC=20，通过AE为∠CAB的角平分线，求出CD=10，DB=5，通过相交弦定理求解即可．

解答 解：（1）∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB，
又∠P是公共角，∴△ABP～△CAP，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}=2$．
（2）由切割线定理得：PA²=PB•PC，∴PC=20，
又PB=5，∴BC=15，AE为∠CAB的角平分线，
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=2$，∴CD=2DB，CD+DB=15，∴CD=10，DB=5，
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

点评 本题考查三角形相似，切割线定理，交点平分线定理的应用，考查计算能力．