Question

【题目】已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点。

①若的面积为3，求的值。

②记直线的斜率为，证明： 为定值，并求出这个定值。

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ①2. ②2.

【解析】试题分析：（1）设圆心，过点作轴，垂足为，则，根据，根据两点之间的距离公式化简即可，需验证，即可得出圆心的轨迹的方程；（2）设直线的方程为， ，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理得出， ；①表示出，化简即可解出；②设，表示出， ，根据共线，即可求出与的关系，同理可得的坐标，从而表示出，即可得到为定值.

试题解析：（1）设圆心，过点作轴，垂足为，则.

∴

∴，化简为：.

当时，也满足上式.

∴动圆圆心的轨迹的方程为。

（2）设直线的方程为， ，

由，得，

， .

①，解得.

②设，则， .

∵共线

∴，即，解得： （舍）或.

∴，同理，

∴

∴（定值）