题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中， 
、
分别为
、
的中点， 
， 
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若直线
和平面
所成角的正弦值等于
，求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，先证线面垂直， 
平面
，再由面面垂直的判定得到面面垂直；（2）建系得到面的法向量和直线的方向向量，根据公式得到线面角的正弦值。.
解析：
（1）在直三棱柱中
又
平面
， 
平面
， 
∴
平面
又∵
平面
∴平面
平面
.
（2）由（1）可知
以
点为坐标原点， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向，建立坐标系.设
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
直线
的方向向量
，平面
的法向量
可知
∴
， 
， 
设平面
的法向量
∴
∴
设平面
的法向量
∴
∴
记二面角
的平面角为
∴
二面角
的平面角的正弦值为
.
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