题目内容
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．（1）求{an}的通项公式；
（2）求$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和Tn．
分析 （1）Sn=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．Sn-1=$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$，（n≥2）两式相减得an=3n；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3n×3（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$累加即可．
解答 解：（1）∵Sn=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}$n．
∴Sn-1=$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{3}{2}（n-1）$，（n≥2），
两式相减得an=3n，
又a1=3，满足上式，∴an=3n，（n∈N+）．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3n×3（n+1）}$=$\frac{1}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴Tn=$\frac{1}{9}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{9（n+1）}$．
点评 本题考查了数列的递推式，裂项求和，属于中档题．
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