Question

已知函数f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函数
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）设g（x）=

1

2

x+m（m∈R），问是否存在实数m，使得函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方，从而f（x）-g（x）=log₉（9^x+1）-x-m＞0恒成立，设F（x）=log₉（9^x+1）-x，求出函数F（x）的最小值，进而可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为y=f（x）为偶函数，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx=log₉（9^-x+1）-log₉（9^x+1）=log₉（

1+9x

9x

）-log₉（9^x+1）-x恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴k=-

1

2

．
（Ⅱ）∵g（x）=

1

2

x+m，f（x）=log₉（9^x+1）-

1

2

x
∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方
∴f（x）-g（x）=log₉（9^x+1）-x-m＞0恒成立，
∴m＜log₉（9^x+1）-x恒成立，
设F（x）=log₉（9^x+1）-x=log₉（9^x+1）-log₉9^x=log₉（

1

9x

+1）
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，

1

9x1

＞

1

9x2

于是log₉（

1

9x1

+1）＞log₉（

1

9x2

+1）
，即F（x₁）＞F（x₂），
所以F（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
∵

1

9x

+1＞1，
∴F（x）=log₉（

1

9x

+1）＞0
∴m≤0
故m的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题重点考查函数的性质，考查函数与方程的关系，解题的关键是正确运用偶函数的定义，合理将问题进行等价转化，属于中档题