Question

17．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 设 $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，则两两夹角为45°，且模均为1．根据向量加法的平行四边形法则，我们易得 $\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$．我们易根据向量数量积的运算法则，求出AC₁的模，即AC₁的长；

解答 解：设 $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，则两两夹角为45°，且模均为1．
 $\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$．
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|²=（ $\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）²
=3+6×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+3$\sqrt{2}$，
∴|AC₁|=$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$，即AC₁的长为：$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{3+3\sqrt{2}}$．

点评 本题考查的知识点是空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．