Question

7．在直角坐标系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xcosθ+（y-4）sinθ=1，0≤θ≤2π}，已知集合A的补集∁_UA所对应区域的对称中心为M，点P是线段x+y=8（x＞0，y＞0）上的动点，点Q是x轴上的动点，则△MPQ周长的最小值为（　　）

• A． 24
• B． 4$\sqrt{10}$
• C． 14
• D． 8+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用点到直线的距离公式计算可知集合A表示的图形即为以（0，4）为圆心、1为半径的单位圆的外部，从而可得M（0，4），通过作出图象，问题转化为求点M关于x轴和x+y=8对称的两点之间的距离，计算即得结论．

解答 解：∵点（0，4）到直线xcosθ+（y-4）sinθ=1的距离d=$\frac{|0+0-1||}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1，
∴直线xcosθ+（y-4）sinθ=1为圆x²+（y-4）²=1的切线，
∴集合A的补集∁_UA所对应的区域为圆x²+（y-4）²=1的内部，故M（0，4），
过直线x+y=8及x轴作点M的对称点A，B，则A（0，-4），B（4，8），
故所求值为线段AB的长度，由两点间距离公式可知
|AB|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（-4-8）^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
故选：B．

点评 本题考查函数的最值及几何意义，考查数形结合能力，考查转化思想，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．