Question

设△ABC的三边为a，b，c满足

b+c

a

=cosB+cosC．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）求2cos2

B

2

+2

3

cos2

C

2

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用正弦定理化简，再利用和差化积公式及二倍角的正弦函数公式化简，整理后求出B+C的度数，即可确定出A的值；
（Ⅱ）原式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，用B表示出C，代入后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴

b+c

a

=

sinB+sinC

sinA

=cosB+cosC，
整理得：

2sin B+C 2 cos B-C 2

2sin B+C 2 cos B+C 2

=2cos

B+C

2

cos

B-C

2

，即cos²

B+C

2

=

1

2

，
∴cos

B+C

2

=

2

2

，即

B+C

2

=

π

4

，
∴B+C=

π

2

，即A=

π

2

；
（Ⅱ）∵B+C=

π

2

，
∴C=

π

2

-B，即cosC=sinB，
∴2cos²

B

2

+2

3

cos²

C

2

=1+cosB+

3

（1+cosC）=cosB+

3

cosC+

3

+1=cosB+

3

sinB+

3

+1=2sin（B+

π

6

）+

3

+1，
∵0＜B＜

π

2

，即

π

6

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，即

3

+2＜2sin（B+

π

6

）+

3

+1≤

3

+3，
则2cos²

B

2

+2

3

cos²

C

2

的取值范围为（

3

+2，

3

+3]．

点评：此题考查了正弦定理，和差化积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．