Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n+

1

an

，则S₂₀₁₅的值是（　　）

• A、2015+

  2015

  2015

• B、2015-

  2015

  2015

• C、2015
• D、

  2015

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：2S_n=a_n+

1

an

，可得2a1=a1+

1

a1

，解得a₁=1．同理解得a2=

2

-1，a3=

3

-

2

．…，猜想an=

n

-

n-1

．．验证满足条件，进而得出．

解答： 解：∵2S_n=a_n+

1

an

，∴2a1=a1+

1

a1

，解得a₁=1．
当n=2时，2（1+a₂）=a2+

1

a2

，化为

a

2 2

+2a2-1=0，又a₂＞0，解得a2=

2

-1，
同理可得a3=

3

-

2

．
猜想an=

n

-

n-1

．
验证：2S_n=2[(1-0)+(

2

-1)+…+(

n

-

n-1

)]=2

n

，an+

1

an

=

n

-

n-1

+

1

n - n-1

=2

n

，
因此满足2S_n=a_n+

1

an

，
∴an=

n

-

n-1

．
∴S_n=

n

．
∴S₂₀₁₅=

2015

．
故选：D．

点评：本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．