Question

如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（-

2

，y₁），点N（

2

，y₂）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；
（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．

解答： 解：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)①焦点F（c，0），
因为

c

a

=

2

2

②，
将点B（c，

2

2

）代入方程①得

c2

a2

+

1

2b2

=1③
由②③结合a²=b²+c²得：a=

2

，b=1．
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．

（2）由

x2 2 +y2=1 x=ty+λ

得（2+t²）y²+2tλy+λ²-2=0．
∵l为切线，
∴△=（2tλ）²-4（t²+2）（λ²-2）=0，
即t²-λ²+2=0①
设圆与x轴的交点为T（x₀，0），则

TM

=(-

2

-x0，y1)，

TN

=(

2

-x0，y2)，
∵MN为圆的直径，
∴

TM

•

TN

=x02-2+y1y2=0②
因为y1=

- 2 -λ

t

，y2=

2 -λ

t

，所以y1y2=

λ2-2

t2

，代入②及①得

TM

•

TN

=

(x02-2)t2+λ2-2

t2

=

(x02-1)t2

t2

，
要使上式为零，当且仅当x02=1，解得x₀=±1，
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（-1，0）与（1，0），即两个焦点．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度．