Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{1-{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，则方程f（x²-2x）=a（a≥0）的不同实数根的个数不可能为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6．

Answer 1

分析 利用换元法设t=x²-2x，分别作出函数a=f（t），以及t=x²-2x的图象，结合函数的图象分别讨论a的值，进行求解判断即可．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{{1-x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$的图象如右图，

∵x²-2x=（x-1）²-1；
∴设t=x²-2x，

①若a＞1，由f（t）=a得方程有一个根t∈（0，1），
当t∈（0，1）时，t=x²-2x，有两个根，则此时，f（x²-2x）=a（a≥0）有2个根，
②若a=1，由f（t）=a得方程有一个根t=0，另外一个根t∈（0，1），
当t∈（0，1）时，t=x²-2x，有两个根，
当t=0时，t=x²-2x，有两个根，则此时，f（x²-2x）=a（a≥0）有4个根，
③若0＜a＜1，由f（t）=a得方程有三个根，一个根t∈（-1，0），一个t∈（1，+∞），另外一个根t∈（0，1），
当t∈（-1，0）时，t=x²-2x，有两个根，
当t∈（0，1）时，t=x²-2x，有两个根，
当t∈（1，+∞）时，t=x²-2x，有两个根，
则此时，f（x²-2x）=a（a≥0）有6个根，
④若a=0，由f（t）=a得方程有一个根t=1，另外一个根t=-1，
当t=-1时，t=x²-2x，有1个根，
当t=1时，t=x²-2x，有两个根，则此时，f（x²-2x）=a（a≥0）有3个根，
即当a≥0时，方程根的个数为2，3，4，6，
故不可能是5个，
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化两个函数，利用函数图象的交点个数分别进行判断是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．