Question

14．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$（α为参数），过点P（1，0）的直线l交曲线C于A，B两点．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的最值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$，利用cos²α+sin²α=1消去参数α得曲线C的普通方程．
（2）由题意知，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.（t为参数）$，代入椭圆方程得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．利用根与系数的关系可得：|PA|PB|=|t₁t₂|，及其三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α为参数）$，
消去参数α得曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）由题意知，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}}\right.（t为参数）$，
代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得（cos²θ+2sin²θ）t²+2tcosθ-1=0．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=$\frac{-1}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
则$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{{{cos}^2}θ+2{{sin}^2}θ}}=\frac{1}{{1+{{sin}^2}θ}}∈[\frac{1}{2}，1]$．
∴|PA|•|PB|的最大值为1，最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．