Question

13．已知m＞0，函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）命题p：f（x）在区间[3，+∞）上为增函数；命题q：关于x的方程g（x）=0有实根．若（?p）∧q是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用二次函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、复合命题的真假判断方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x-\frac{m}{x}=\frac{{{x^2}-m}}{x}$，定义域x＞0，
当$0＜x＜\sqrt{m}$时，f'（x）＜0，当$x＞\sqrt{m}$时，f'（x）＞0
∴f（x）的单增区间为$（\sqrt{m}，+∞）$，单减区间为$（0，\sqrt{m}）$…（5分）
（Ⅱ）若p为真，则$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m}≤3\\ m＞0\end{array}\right.$，∴0＜m≤9，则^?p为：m＞9
若q为真，则△=（m+1）²-4≥0且m＞0，得m≥1
依题意（^?p）∧q为真，则$\left\{\begin{array}{l}m＞9\\ m≥1\end{array}\right.$，∴m＞9…（10分）

点评 本题考查了导数知识的运用，考查函数的单调性，考查利用二次函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力，属于中档题．