Question

12．若函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²-2x在x∈（1，2）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，$\frac{4}{5}$）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{4}{5}$）

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立，令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，则g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上单调递减，即可得出结论．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$+ax-2，
∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上成立，
即$\frac{a}{x}$+ax-2≤0，在x∈（1，2）上成立，
即a≤$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$在x∈（1，2）上成立．
令g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{2（1-{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，在x∈（1，2）上单调递减，
∵g（2）=$\frac{4}{5}$，
∴a＜$\frac{4}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查学生利用导数研究函数的单调性知识及转化划归思想的运用能力，属中档题．