Question

已知数列{a_n}（n∈N^*，1≤n≤46）满足a₁=a，a_n+1-a_n=

d，1≤n≤15 1，16≤n≤30 1 d ，31≤n≤45

其中d≠0，n∈N^*．
（1）当a=1时，求a₄₆关于d的表达式，并求a₄₆的取值范围；
（2）设集合M={b|b=a_i+a_j+a_k，i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16}．
①若a=

1

3

，d=

1

4

，求证：2∈M；
②是否存在实数a，d，使

1

8

，1，

53

40

都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接计算即可；
（2）①求出a_n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．

解答： 解：（1）当a=1时，a₁₆=1+15d，a₃₁=16+15d，a46=16+15(d+

1

d

)．      
因为d≠0，d+

1

d

≥2，或d+

1

d

≤-2，
所以a₄₆∈（-∞，-14]∪[46，+∞）．                       
（2）①由题意an=

1

3

+

n-1

4

，1≤n≤16，b=1+

i+j+k-3

4

．     
令1+

i+j+k-3

4

=2，得i+j+k=7．
因为i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16，
所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．                    
②不存在实数a，d，使

1

8

，1，

53

40

同时属于M．      
假设存在实数a，d，使

1

8

，1，

53

40

同时属于M．
∵a_n=a+（n-1）d，∴b=3a+（i+j+k-3）d，
从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．          
因为

1

8

，1，

53

40

同时属于M，
所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），
使得

3a+xd= 1 8 3a+yd=1 3a+zd= 53 40

从而

(y-x)d= 7 8 (z-x)d= 6 5

则 

y-x

z-x

=

35

48

．                                  
因为35与48互质，且y-x与z-x为整数，
所以|y-x|≥35，|z-x|≥48，但|z-x|≤39，矛盾．
所以不存在实数a，d，使

1

8

，1，

53

40

都属于M．

点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．