Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

（1）求f（x）的单调递增区间
（2）求f（x）在区间][0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）
令：2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域为：[-

1

2

，1]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础题型．