Question

已知正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别为BC、AD的中点．求：
（1）直线AM和CN所成角；
（2）直线AM和平面BCD所成角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）取DM中点O，连结CO，MO，由勾股定理得CN=AM=

3

2

a，MO=NO=

1

2

AM=

3

4

a，CO=

CM2+MO2

=

7

4

a，由此利用余弦定理能求出直线AM和CN所成角．
（2）作AP⊥平面BDC，交DM于点P，则∠AMP是直线AM和平面BCD所成角，由此能求出直线AM和平面BCD所成角．

解答： 解：（1）∵正四面体ABCD中，棱长为a，
M、N分别为BC、AD的中点，
取DM中点O，连结CO，MO，
∴CN=AM=

3

2

a，MO=NO=

1

2

AM=

3

4

a，
CO=

CM2+MO2

=

7

4

a，
设直线AM和CN所成角为α，
cosα=

CN2+NO2-CO2

2×CN×NO

=

3 4 a2+ 3 16 a2- 7 16 a2

3 4 a2

=

2

3

，
∴α=arccos

2

3

．
∴直线AM和CN所成角为arccos

2

3

．
（2）作AP⊥平面BDC，交DM于点P，
则∠AMP是直线AM和平面BCD所成角，
∵DM=AM=

3

2

a，PM=

1

3

DM=

3

6

a，
∴cos∠AMP=

PM

AM

=

1

3

，
∴∠AMP=arccos

1

3

．
∴直线AM和平面BCD所成角为arccos

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．