Question

如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，四边形ADNM为平行四边形，点E为AB中点．
（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面BDN．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由已知条件推导出四边形MNCB是平行四边形，平行四边形MNCB对角线MC、NB相交且互相平分，设其交点为F，则NF=FB，连接EF，由三角形中位定理能证明AN∥平面MEC．
（ II） 连接BD，由线面垂直得MA⊥AC，由MA∥ND，得ND⊥AC，由菱形性质得BD⊥AC，由此能证明AC⊥平面BDN．

解答： 证明：（I）∵四边形ABCD是菱形，四边形ADNM是平行四边形
∴MN∥AD∥BC且MN=AD=BC，
∴四边形MNCB也是平行四边形，…（2分）
∴平行四边形MNCB对角线MC、NB相交且互相平分，设其交点为F，
∴NF=FB，连接EF
在△ABN中，EF为中位线，即EF∥AN，…（4分）
又AN平包含于平面MEC，EF?平面MEC，…（5分）
∴AN∥平面MEC．…（6分）
（ II） 连接BD，∵MA⊥平面ABCD且AC?平面ABCD，
∴MA⊥AC，…（7分）
又MA∥ND，∴ND⊥AC，…（9分）
又四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
又ND和BD是平面BDN上的两相交直线，…（11分）
∴AC⊥平面BDN．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．