Question

设命题p：“对任意的x∈R，x²-2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可．

解答： 解：命题p：对任意的x∈R，x²-2x＞a，∴x²-2x的最小值大于a；
x²-2x的最小值为：-1；
∴-1＞a，即a＜-1；
命题q：存在x∈R，使x²+2ax+2-a=0；
即方程x²+2ax+2-a=0有实根；
∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2，或a≥1；
∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；
∴若p真q假：

a＜-1 -2＜a＜1

，解得-2＜a＜-1；
若p假q真：

a≥-1 a≤-2，或a≥1

，解得a≥1；
∴实数a的取值范围为（-2，-1）∪[1，+∞）．

点评：考查二次函数的最值，一元二次方程的根与判别式的关系，交集与并集，以及p∨q，和p∧q的真假情况．