Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（1，

3

2

），一个焦点为（

3

，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求

|AB|

|PQ|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆过点（1，

3

2

），结合给出的焦点坐标积隐含条件a²-b²=c²求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得

|AB|

|PQ|

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程是

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）联立

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，
y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k

1+4k2

．
∴线段AB的中点坐标为(

4k2

1+4k2

，

-k

1+4k2

)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-

-k

1+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

1+4k2

)．
取y=0，得x=

3k2

1+4k2

，
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q(

3k2

1+4k2

，0)，
又点P（1，0），
∴|PQ|=|1-

3k2

1+4k2

| =

1+k2

1+4k2

．
又|AB|=

(1+k2)[( 8k2 1+4k2 )2-4• 4k2-4 1+4k2 ]

=

4 (1+k2)(1+3k2)

1+4k2

．
于是，

|AB|

|PQ|

=

4 (1+k2)(1+3k2) 1+4k2

1+k2 1+4k2

=4

1+3k2 1+k2

=4

3- 2 1+k2

．
∵k≠0，
∴1＜3-

2

1+k2

＜3．
∴

|AB|

|PQ|

的取值范围为(4，4

3

)．

点评：本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．