Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=1的左支交于点A，与右支交于点B．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆过坐标的点O，求该圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率关系，直接求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可知0A⊥OB，又A，B两点在直线l上，得到y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入上式有A，B两点为直线l与双曲线C的交点，求出圆的半径，即可求解圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由图观察知，直线l的斜率应介于双曲线的两渐近线的斜率之间，而两渐近线的斜率为±

3

，所以-

3

＜k＜

3

．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可知0A⊥OB，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1
又A，B两点在直线l上，所以y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入上式有
 （k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0     ①
又∵A，B两点为直线l与双曲线C的交点，
 

y=kx+1 3x2-y2=1

∴（3-k²）x²-2kx-2=0  ②
x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=-

2

3-k2

，
代入①中解得k=±1，即直线l的方程为y=±x+1
∴所求圆的圆心为AB的中点（±

1

2

，

3

2

），
而半径为r=

(± 1 2 -0)2+( 3 2 -0)2

=

10

2

∴所求圆的方程为(x±

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

5

2

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．