Question

13．已知a，b∈R，且a＜b，若ae^b=be^a（为自然对数的底数），则下列正确的是（　　）

• A． a＜-1，-1＜b＜0
• B． 1＜a＜2，b＞2
• C． 0＜a＜1，b＞1
• D． 0$＜a＜\frac{1}{e}$，b$＜\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．

解答 解：设f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，则f'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴f（x）在（-∞，1）为增函数，（1，+∞）减函数，
∵ae^b=be^a，
∴$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{b}{{e}^{b}}$，
∴f（a）=f（b），
∵当x＜0时，f（x）＜0，
∴a＞0，b＞0，
∵a＜b，
∴0＜a＜1，b＞1，
故选：C．

点评 本题主要考查指数幂的大小比较，利用条件构造函数，研究函数的单调性是解决本题的关键．