Question

3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AD：AB=2：3，BD=$\sqrt{7}$，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD=$\frac{2π}{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）设AD=2x，AB=3x，由余弦定理求出AD=2，AB=3，再由正弦定理能求出sin∠ABD．
（2）由sin（∠ABD+∠CBD）=sin$\frac{π}{2}$，得sin∠CBD=cos∠ABD，求出sin$∠CBD=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，由此利用正弦定理能求出CD．

解答 解：（1）设AD=2x，AB=3x，
由余弦定理得：cos$\frac{π}{3}$=$\frac{4{x}^{2}+9{x}^{2}-7}{2×2x×3x}$=$\frac{1}{2}$，
解得x=1，∴AD=2，AB=3，
∴由正弦定理得：$\frac{sin∠ABD}{2}=\frac{sin\frac{π}{3}}{\sqrt{7}}$，
解得sin∠ABD=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）sin（∠ABD+∠CBD）=sin$\frac{π}{2}$，∴sin∠CBD=cos∠ABD，
cos$∠ABD=\sqrt{1-\frac{21}{49}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，∴sin$∠CBD=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sin\frac{2π}{3}}$，解得CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．