Question

【题目】已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1) 设点的坐标为，表示点D,A坐标，再根据 列方程解得点的轨迹方程；(2)设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式得圆心坐标，解得半径，再根据垂径定理得，最后根据函数值域得最小值，即的最大值.

详解：（1）设点的坐标为，则的中点的坐标为，点的坐标为.

，，

由，得，即，

经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.

所以，轨迹的方程为.

（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为、，圆心的坐标为.

由，可得，∴，.

∴，∴.

∴圆的半径 .

过圆心作于点，则.

在中， ，

当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，

所以，的最大值为.