Question

【题目】已知在直三棱柱中，，，，，，点在线段上.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（1）根据边角关系得到，进而得到，，，∴，又因为是直三棱柱，故，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系，求平面的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的求法得到余弦值.

解析：

（Ⅰ）不妨设，则，，，.

在和中，，，

∴，∴，

∴ ，∴，即；

∵，，∴，

∵为直三棱柱，∴平面，∴；

∴平面，∵点在线段上，∴.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，，，，，，∴，，，.

设平面的法向量，则，

即，取，则，，

则平面的一个法向量；

设平面的法向量，则，即，

取，则，，则平面的一个法向量；

∴ ，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.