Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀） （a为常数）．
（1）求抛物线方程；
（2）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），若

BM

=λ

MA

，求证：线段PM的中点在y轴上；
（3）在（2）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若点P的坐标为（1，-1），求：∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：导数的综合应用,向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意设出抛物线方程，利用导数求其过点P（x₀，y₀）的切线方程，结合已知的切线方程求得p的值，在抛物线方程可求；
（2）由直线方程的点斜式写出PA的方程，和抛物线方程联立，利用根与系数关系得到A点横坐标，结合k₂+λk₁=0（λ≠0，λ=-1），且

BM

=λ

MA

证得答案；
（3）由λ=1，P（1，-1）求得a=-1，求出A，B的坐标，得到向量

AP

，

AB

的坐标，由∠PAB为钝角，且P，A，B不共线可得

AP

•

AB

＜0，进一步得到k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．再由点A的纵坐标yA=-(k1+1)2求其范围．

解答： （1）解：由题意为设抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），
∵过点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀），
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
∴p=-

1

2a

．
则抛物线的方程为y=ax²（a＜0）；
（2）证明：直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），
由

y=ax2 y-y0=k1(x-x0)

，得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，
∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，
∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

（λ≠0，λ≠1），
∴x_M-x₀=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

．
∴线段PM的中点在y轴上．
（3）解：由λ=1，P（1，-1），可知a=-1，
∴A(-k1-1，-(k1+1)2)，B(k1-1，-(k1-1)2)．
∴

AP

=(2+k1，k12+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，
∴

AP

•

AB

＜0，
即(2+k1)•2k1+(k12+2k1)•4k1＜0．
∴k1(2k12+5k1+2)＜0．
∵k₁＜0，∴2k12+5k1+2＞0，
∴k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．
又∵点A的纵坐标yA=-(k1+1)2，
∴当k₁＜-2时，y_A＜-1；
当-

1

2

＜k₁＜0时，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围为(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，考查了利用导数求曲线的切线方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用平面向量解决圆锥曲线问题，体现了数学转化思想方法，考查了计算能力，是压轴题．