设斜率为k1的直线l1与椭圆x22+y2=1交于不同的A.B两点.直线y=k2x与直线l1的交点为M.(k1≠k2.且k1≠0)．(Ⅰ)若点M为弦AB的中点.求k1k2的值,(Ⅱ)把题设中的椭圆一般化为x2a2+y2b2=1.其他条件不变的运算结果.写出一个关于k1k2的一般性结论.并判断与证明它的逆命题是否为真命题,(ii)根据以上探究.在双曲线x2a2-y2b2=1中写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设斜率为k₁的直线l₁与椭圆

+y²=1交于不同的A、B两点，直线y=k₂x与直线l₁的交点为M，（k₁≠k₂，且k₁≠0）．
（Ⅰ）若点M为弦AB的中点，求k₁k₂的值；
（Ⅱ）把题设中的椭圆一般化为

=1（a＞0，b＞0，a≠b），其他条件不变
（i）根据（Ⅰ）的运算结果，写出一个关于k₁k₂的一般性结论，并判断与证明它的逆命题是否为真命题；
（ii）根据以上探究，在双曲线

=1（a＞0，b＞0）中写出类似结论．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能证明k1k2=-

．
（2）（i）由已知条件推导出k1k2=-

，写出逆命题，由斜率为k₁的直线l₁与椭圆

=1联立方程组，由此利用韦达定理结合中点坐标公式能证明点M为弦AB的中点．
（ii）由以结论，合理地归纳总结，寻找规律，在双曲线

=1（a＞0，b＞0）中能写出类似结论．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点M为弦AB的中点，则M（

x1+x2

，

y1+y2

），
且有

x12

+y12=1，

x22

+y22=1，
两式相减得：

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

，即k1k2=-

．
（2）（i）斜率为k₁的直线l₁与椭圆

=1交于不同的A、B两点，
直线y=k₂x与直线l₁的交点为M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
若点M为弦AB的中点，则k1k2=-

，
逆命题：斜率为k₁的直线l₁与椭圆

=1交于不同的A、B两点，
直线y=k₂x与直线l₁的交点为M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
若k1k2=-

，则点M为弦AB的中点．
证明如下：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

y=kx+m

，得（b²+a²k12）x2+2a2k1mx+a2m2-a2b2=0，
△=4a4k12m2-4(b2+a2k12)(a2m2-a2b2)＞0，
x1+x2=

-2a2k1m

b2+a2k12

，
y1+y2=k1(x1+x2)+2m=

2mb2

b2+a2k12

，
∴弦AB的中点坐标为（

-a2k1m

b2+a2k12

，

mb2

b2+a2k12

），
将x=

-a2k1m

b2+a2k12

代入直线l₂：y=k₂x，
得y=

-a2k1k2m

b2+a2k12

，又k1k2=-

，
∴y=

mb2

b2+a2k12

，
即点M为弦AB的中点．
（ii）斜率为k₁的直线l₁与双曲线

=1交于不同的A、B两点，
直线y=k₂x与直线l₁的交点为M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
点M为弦AB的中点的充要条件为k1k2=

．

点评：本题考查两直线的斜率的乘积的求法，考查椭圆和双曲线中类似结论的总结与证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．

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