Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁=a，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点.
（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为.

Answer 1

（1）详见解析；（2）点满足.

试题分析：（1）由面ACC₁A₁⊥面ABCAB⊥面ACC₁A₁AB⊥CD，由D为AA₁中点，AC=A₁C可推出CD⊥AA₁，从而得到CD⊥面ABB₁A_1.（2）由题意，以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，求平面面A₁C₁A的一个法向量、平面EA₁C₁的一个法向量，利用向量法求解.
（1）【证】∴面ACC₁A₁⊥面ABC，AB⊥AC
∴AB⊥面ACC₁A₁，即有AB⊥CD；
又AC=A₁C，D为AA₁中点，则CD⊥AA₁  ∴CD⊥面ABB₁A_1.（6分）
（2）【解】如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA₁为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A₁(0,0,a), B₁(0,a,a)

C₁(-a,0,a)，设，且，
即有
所以E点坐标为
由条件易得面A₁C₁A的一个法向量为
设平面EA₁C₁的一个法向量为，
由可得
令y=1，则有，（9分）
则，得，
∴当时，二面角E-A₁C₁-A的大小为.（12分）