Question

如图，在四棱锥E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点
（1）求证：DE∥平面FGH；
（2）若点P在直线GF上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A的大小为，求λ的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）λ的值等于1或4．

试题分析：（1）取AD的中点M，连接MH，MG,由G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，得MH∥GF，G、F、H、M四点共面，又MG∥DE，所以DE∥平面MGFH；（2）在平面ABE内过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．可得坐标，利用空间向量的坐标运算求出平面PBD的一个法向量=（5﹣2λ，，2），再由图可知平面ABP的一个法向量为，由cos＜＞==得λ=1或4．
解：（1）证明：取AD的中点M，连接MH，MG．
∵G、H、F分别是AE、BC、BE的中点，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即G、F、H、M四点共面，平面FGH即平面MGFH，
又∵△ADE中，MG是中位线，∴MG∥DE
∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直线DE与平面FGH平行．
（2）在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AP，则AP⊥平面ABCD．
以A为原点，AP、AB、AD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示．
可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，﹣2，0），G（，﹣1，0），F（，1，0）
∴=（0，2，0），=（0，﹣4，2），=（，﹣5，0）．
由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ﹣5，0）．
设平面PBD的法向量为=（x，y，z），
则，取y=，得z=2，x=5﹣2λ，
∴=（5﹣2λ，，2），
又∵平面ABP的一个法向量为=（0，0，1），
∴cos＜＞===cos=，解之得λ=1或4
即λ的值等于1或4．