Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A₁B，AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（3）若A₁A=2AB=2BC=2a，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥BC，可得EF∥平面ABC；
（2）证明平面AEF⊥平面AA₁B₁B，只需证明EF⊥平面ABB₁A₁；
（3）V_E-ABC=

1

2

VA1-ABC，即可求三棱锥F-ABC的体积．

解答： （1）证明：连结A₁C．
∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁C₁C是矩形，
∴点F在A₁C上，且为A₁C的中点．
在△A₁BC中，∵E，F分别是A₁B，A₁C的中点，∴EF∥BC．  …（2分）
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC．   …（4分）
（2）证明∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥BC．
∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B₁B⊥EF．  …（6分）
∵B₁B∩AB=B，∴EF⊥平面ABB₁A₁．          …（8分）
∵EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB₁A₁．  …（10分）
（3）解：V_E-ABC=

1

2

VA1-ABC=

1

2

×

1

2

×S△ABC×AA1=

1

2

×

1

3

×

1

2

a2×2a=

a3

6

  …（14分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查面面垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．