Question

6．设x₁，x₂是一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，则${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$的最小值为$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用根的判别式、韦达定理、完全平方和公式求解．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根，
∴△=4a²-4a-24＞0，
解得-2＜a＜3，
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=a+6，
∴${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$=${{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}+1$
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2
=4a²-2a-12-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{4}$，
a=$\frac{3}{4}$时，${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$取最小值-$\frac{49}{4}$．
故答案为：-$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、完全平方和公式的合理运用．