Question

7．平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标中，已知圆C经过点$P（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，圆心为直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$与极轴的交点．求：
（1）直线l的普通方程；
（2）圆C的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，化简即可；（2）求出圆心坐标和半径，从而求出圆的极坐标方程即可．

解答 解：（1）直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$
（2）∵圆C圆心为直线$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$与极轴的交点，
∴在$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中令θ=0，得ρ=1．
∴圆C的圆心坐标为（1，0）．
∵圆C经过点$P（{\;\sqrt{2}}\right.，\frac{π}{4}\left.{\;}）$，
∴圆C的半径为$PC=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}-2×1×\sqrt{2}cos\frac{π}{4}}=1$．
∴圆C经过极点，
∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

点评 本题考查了极坐标方程和普通方程转化，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ转化是解题的基础，本题是一道基础题．