Question

15．在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是$\frac{144}{41}$．

Answer 1

分析 以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值．

解答 解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），
∴平面ABC为：$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{4}z$=1，
∴1=（$\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{4}z$）²≤[（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{4}$）²]（x²+y²+z²），
解得x²+y²+z²≥$\frac{144}{41}$．
又M是底面ABC内一点，
∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是$\frac{144}{41}$．
故答案为：$\frac{144}{41}$．

点评 本题考查点到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．