Question

17．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{|x-3|-1，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，则函数F（x）=f（x）-a，（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）

• A． 1-2^a
• B． 2^-a-1
• C． 1-2^-a
• D． 2^a-1

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数的所有零点之和即可．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}（1-x），-1＜x＜0}\\{1-|x+3|，x≤-1}\end{array}\right.$，
作出函数f（x）在R图象如图：
由图象可知函数f（x）=a（0＜a＜1）有5个根，不妨设为x=a′，b，c，d，e．且a′＜b＜c＜d＜e，
则a′，b关于x=-3对称，d，e关于x=3对称，0＜c＜1，
∴a′+b=-6，d+e=6，
∵0＜c＜1，
∴由f（c）=a，得log₂（c+1）=a，
∴c=2^a-1，
∴零点之和为a′+b+c+d+e=-6+6+2^a-1=2^a-1．
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，确画好图，把握图象的对称性是关键．