Question

已知函数f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x（其中a∈R）．
（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，从而可得a=0；
（Ⅱ）当a=0时，不等式f(x)＞(x-1)(

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x2+x+1)可化为（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），即（x-1）（e^x-（

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x²+x+1））＞0，令g（x）=e^x-（

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x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，从而由导数解不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x．
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0为f（x）的极值点，
∴f′（0）=a•e⁰=0，
∴a=0；
经检验成立；

（Ⅱ）当a=0时，不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)可化为
（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），
即（x-1）（e^x-（

1

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x²+x+1））＞0，
令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1；
当x＞0时，h′（x）=e^x-1＞0，当x＜0时，h′（x）=e^x-1＜0；
故h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0；
故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0；
故e^x-（

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x²+x+1）＞0，x＞0；
e^x-（

1

2

x²+x+1）＜0，x＜0；
所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．

点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题．