Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BD=4，PD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，二面角P-BC-D为60°．
（1）求证：BC⊥BD；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,向量语言表述线线的垂直、平行关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过D向PB作垂线，垂足为E，先证明出DE⊥平面PBC，利用线面垂直的性质证明出DE⊥BC，根据PD⊥平面ABCD，推断出PD⊥BC，继而可利用线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PBD，进而可知BC⊥BD；
（2）先证明出AD∥平面PBC，推断点A到平面PBC的距离与点D到平面PBC的距离相等，继而证明出DB的长度即为点D到平面PBC的距离，证明出∠PBD为二面角P-BC-D的平面角，则DE可求．

解答： （1）证明：过D向PB作垂线，垂足为E，
∵平面PBC⊥平面PBD，平面PBC∩平面PBD=PB，
∴DE⊥平面PBC，
∵BC?平面PBC，
∴DE⊥BC，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD?平面PBD，DE?平面PBD，DE∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD，
∵BD?平面PBD，
∴BC⊥BD，
（2）∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离与点D到平面PBC的距离相等，
∵DE⊥平面PBC，
∴DB的长度即为点D到平面PBC的距离，
∵BC⊥平面PBD，
∴BC⊥BD，BC⊥PB，
∴∠PBD为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=60°，
∴在Rt△DBE中，DE=

3

2

BD=2

3

，
即点A到平面PBC的距离为2

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质的应用．作出DE的辅助线解决本题的关键所在．