Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且{a_n}、{b_n}满足条件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（1）求公差d的值；
（2）若对任意的n∈∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范围；
（3）若a₁=1，令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式能求出d=1．
（2）由公差d=1＞0知数列{a_n}是递增数列，由S_n≥S₅最小知S₅是S_n的最小值，由此能求出a₁的取值范围．
（3）由已知条件得数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而得到bn=2•2n-1=2ⁿ，进而得到
cn=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答： （1）解：设等比数列{b_n}的公比为q，
由S₄=4a₃-2，得：
4a1+

4×3

2

d=4(a1+2d)-2，
解得d=1．（2分）
（2）解：由公差d=1＞0知数列{a_n}是递增数列
由S_n≥S₅最小知S₅是S_n的最小值
∴

S4≥S5 S6≥ S   5

，∴

a5≤0 a6≥0

．（4分）
即

a1+4≤0 a1+5≥0

，解得：-5≤a₁≤-4
∴a₁的取值范围是[-5，-4]．（6分）
（3）解：a₁=1时，a_n=1+（n-1）=n
当n=1时，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
化为b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn=2•2n-1=2ⁿ，
∴cn=n•2n．（8分）
记数列{c_n}的前n项和为V_n，则
∴V_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2V_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，（10分）
两式相减得：-V_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹
=-（n-1）×2^n-1-2，
∴Vn=(n-1)×2n+1+2．（12分）

点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查数列的首项的取值范围的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．