Question

2．已知过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点F₂的直线y=$\sqrt{3}$（x-c）与双曲线在第一象限交于点A，点F₁为左焦点，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求出A的坐标，代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，|F₁F₂|=|F₂A|，
∵过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右焦点F₂的直线y=$\sqrt{3}$（x-c），
∴A（2c，$\sqrt{3}$c），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴4c²b²-3a²c²=a²b²，
∴4c²（c²-a²）-3a²c²=a²（c²-a²），
∴4e⁴-8e²+1=0
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．