Question

12．设函数f（x）=2^x+2^ax+b且f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2．
（1）求a，b的值； 判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若关于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2，构造方程求出a，b的值，进而根据奇偶性的定义，可得结论；
（2）证法一：设x₁，x₂是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，可得结论；
证法二：求导，根据x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）若关于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，即m=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$在[-1，1]上有解，求出f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$的值域，可得答案．

解答 解：（1）∵f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2．
∴$\frac{1}{2}$+2^-a+b=$\frac{5}{2}$，1+2^b=2，
解得：a=-1，b=0，
∴f（x）=2^x+2^-x； 
函数的定义域为R，
且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
故函数为偶函数，
（2）证法一：设x₁，x₂是区间（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
于是f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{1}}+{2}^{-{x}_{1}}$）-（${2}^{{x}_{2}}+{2}^{-{x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）$\frac{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$．
因为x₂＞x₁＞0，所以${2}^{{x}_{1}}＞1$，${2}^{{x}_{2}}＞1$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
证法二：∵f（x）=2^x+2^-x．
∴f′（x）=ln2•（2^x+2^-x）．
当x∈（0，+∞）时，
f′（x）＞0恒成立，
故函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
（3）若关于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，
即m=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$在[-1，1]上有解，
令f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{2x}+1}$，
则f（x）∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$]，
故m∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的证明与应用，利用导数研究函数的单调性，难度中档．