Question

4．已知△ABC的内角A，B满足$\frac{sinB}{sinA}$=cos（A+B），则tanB的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=-2tanA，化简tanB=-tan（A+C）为$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$，利用基本不等式求出tanB的最大值．

解答 解：∵△ABC的内角A，B满足$\frac{sinB}{sinA}$=cos（A+B），且sinA＞0，sinB＞0，
∴$\frac{sinB}{sinA}$=-cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=-sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-sinAcosC，即cosAsinC=-2sinAcosC，
∴tanC=-2tanA，∴tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$
=-$\frac{-tanA}{1+{2tan}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{1}{tanA}$=2tanA时，取等号，故tanB的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键，本题考察了转化思想，属于中档题．