Question

5．经过点（2，0）且与曲线$y=\frac{1}{x}$相切的直线方程为（　　）

• A． x+4y+2=0
• B． x+4y-2=0
• C． x+y+2=0
• D． x+y-2=0

Answer 1

分析 设切点为（x₀，y₀），则y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，由于直线l经过（2，0），推出切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．求出x₀，然后求解切线方程．

解答 解：设直线l：y=k（x-1）．∵曲线$y=\frac{1}{x}$，∴y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴$y′{|}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$
设曲线的切点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$，
∴-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}$，∵x₀≠0，∴x₀=1，∴k=-1，
故直线l的方程为：x+y-2=0．
故选：D．

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．