题目内容

20．已知$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+6x-8lnx$在[m，m+1]上不单调，则实数m的取值范围是（1，2）∪（3，4）．

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，单调关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=-$\frac{（x-2）（x-4）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：2＜x＜4，
令f′（x）＜0，解得：x＞4或x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，+∞）递减，
若f（x）在[m，m+1]不单调，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{m+1＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m+1＞4}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜2或3＜m＜4，
故答案为：（1，2）∪（3，4）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．

练习册系列答案
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14．设$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{x^3}$，已知0＜a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＜0，若x0是函数f（x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（　　）
A．x0＜aB．0＜x0＜1C．b＜x0＜cD．a＜x0＜b
15．若集合A={y|y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$}，B={x|y=ln（x-1）}，则A∩B等于（　　）
A．[1，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（-∞，1）
8．在等比数列中，若a4•a7+a5•a6=20，则此数列前10项的积为105．
15．函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-1}$，其中x∈[-2，1]的值域为[$\frac{1}{8}$，2]．
5．经过点（2，0）且与曲线$y=\frac{1}{x}$相切的直线方程为（　　）
A．x+4y+2=0B．x+4y-2=0C．x+y+2=0D．x+y-2=0
12．已知函数f（x）=log2$\frac{1+x}{1-x}$；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（-1，1），a∈（1，+∞），证明：$\frac{ax-1}{a-x}$∈（-1，1），且f（$\frac{ax-1}{a-x}$）-f（x）=-f（$\frac{1}{a}$）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（-1，1），xn+1=（-1）n+1$\frac{{3{x_n}-1}}{{3-{x_n}}}$，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
9．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，则当$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$取最小值时，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为arccos（-$\frac{1}{4}$）．
10．下列结论中，正确的有（　　）
①不存在实数k，使得方程xlnx-$\frac{1}{2}$x2+k=0有两个不等实根；
②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为$\frac{π}{6}$；
③函数y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cosx}{1+cosx}$与y=lntan$\frac{x}{2}$是同一函数；
④在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．
A．①④B．①③C．①②D．②④

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