Question

18．已知函数$f（{x-3}）=lg\frac{{{x^{\;}}}}{{{x^{\;}}-6}}$．
（1）求f（x）解析式和定义域；
（2）判断函数f（x）奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用换元法结合对数函数的性质即可求f（x）解析式和定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）奇偶性．

解答 解：（1）由$\frac{x}{x-6}$＞0得x＞6或x＜0，
设t=x-3，
则x=t+3，且t＞3或t＜-3，
则函数等价为f（t）=lg$\frac{t+3}{t-3}$，即f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$，
函数的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）；
（2）∵f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$，
∴f（-x）+f（x）=lg$\frac{-x+3}{-x-3}$+lg$\frac{x+3}{x-3}$=lg（$\frac{-x+3}{-x-3}$•$\frac{x+3}{x-3}$）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），
则f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，利用换元法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．