Question

5．设常数a∈（0，1），已知f（x）=log_a（x²-2x+6）是区间（m，m+$\frac{5}{2}$）上的增函数，则最大负整数m的值为-2．

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性结合函数单调性的关系，转化为一元二次函数的性质，进行求解即可．

解答 解：设t=x²-2x+6，则t=（x-1）²+5＞0，则函数的定义域为（-∞，+∞），
∵a∈（0，1），
∴y=log_at为增函数，
若f（x）=log_a（x²-2x+6）是区间（m，m+$\frac{5}{2}$）上的增函数，
则等价为t=x²-2x+6是区间（m，m+$\frac{5}{2}$）上的减函数，
则m+$\frac{5}{2}$≤1，
即m≤1-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∵m是整数，
∴最大的整数m=-2，
故答案为：-2

点评 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法，转化为一元二次函数是解决本题的关键．