Question

13．在平面直角坐标系中xOy中，直线l的斜率为k且过点（0，$\sqrt{2}$），直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$相交于两点P和Q．
（Ⅰ）求斜率k的取值范围；
（Ⅱ）若点M为线段PQ的中点，椭圆C分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，问是否存在斜率k，使得$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AB}$共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）直线l的方程为：y=kx+$\sqrt{2}$，与椭圆方程联立化为$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得△＞0，解出即可得出．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），利用$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AB}$共线，及其根与系数的关系即可得出．

解答 解：（I）直线l的方程为：y=kx+$\sqrt{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）{x}^{2}$+2$\sqrt{2}$kx+1=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=8k²-4$（\frac{1}{2}+{k}^{2}）$=4k²-2＞0，
解得$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴斜率k的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．
（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由（I）可得：x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{2}$，
A$（\sqrt{2}，0）$，B（0，1），$\overrightarrow{AB}$=$（-\sqrt{2}，1）$．
∵$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AB}$共线，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{2}$（y₁+y₂）=-$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）-4，
∴$（1+\sqrt{2}k）×\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$=-4，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由（I）可得：$k＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴不存在斜率k，使得$\overrightarrow{OM}$与$\overrightarrow{AB}$共线．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．