题目内容
如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
【答案】分析：（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量
，
的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．
（2）设出平面BED1F的一个法向量为
，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为
的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．
解答：解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：
则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴
=（-3，3，3），
=（3，0，-1）
∴cosθ=
=
=-
则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为
（2）B（3，3，0），
=（0，-3，3），
=（3，0，-1）
设平面BED1F的一个法向量为
=（x，y，z）
由
得
令x=1，则
=（1，2，3）
则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为
|
|=
=
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
，
的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．（2）设出平面BED1F的一个法向量为
，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为
的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．解答：解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：
则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴
=（-3，3，3），
=（3，0，-1）∴cosθ=
=
=-
则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为
（2）B（3，3，0），
=（0，-3，3），
=（3，0，-1）设平面BED1F的一个法向量为
=（x，y，z）由
得
令x=1，则
=（1，2，3）则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为
|
|=
=
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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